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© FEGLININ, No 22, VOLUMEN 3 ISSN 2594-2298
EDICIÓN ESPECIAL EN EDUCACIÓN Chilpancingo Gro.
MATEMÁTICA Septiembre 2022

Caso 2. La diferencial

La diferencial como incremento infinitamente pequeño fue el concepto fundamental del
Cálculo leibniziano. Sin embargo, al cabo de poco más de un siglo, cuando las cantidades
infinitamente pequeñas fueron desechadas del Cálculo, se hizo lo mismo con la concepción
infinitesimalista de la diferencial y ahora se identifica que en los textos de Cálculo esta se
presenta como el producto de la derivada de la función en un punto y un incremento de la
variable. Esta concepción de la diferencial está relacionada con la aproximación lineal del
incremento, idea que también resulta útil en el estudio de las ciencias básicas y de la
ingeniería, por lo que debe formar parte de la temática de los cursos de Cálculo siempre y
cuando se establezca la diferencia con la concepción original de la diferencial (Arcos y
Sepúlveda, 2011).

Al respecto, el divulgador de las Matemáticas Ian Stewart en sus comentarios al conocido
libro ¿Qué son las matemáticas?, escrito en 1941 por Courant y Robbins, hizo un
reconocimiento de las ventajas didácticas que resultan el aceptar las cantidades infinitamente
pequeñas:

[…] “las diferenciales como cantidades infinitamente pequeñas están ahora descartadas
definitiva y deshonrosamente”: una reflexión precisa del punto de vista que se tenía por
consenso cuando se escribió ¿Qué son las matemáticas? A pesar del veredicto de Courant y
Robbins, siempre ha habido algo intuitivo y llamativo en los argumentos a la antigua con
infinitesimales. Están aún sumergidos en nuestro lenguaje en ideas tales como “instantes” de
tiempo, velocidades “instantáneas” y el considerar una curva como una serie de líneas rectas 27
infinitamente pequeñas y el área acotada por una curva como suma de una cantidad infinita
de áreas de rectángulos infinitesimales. Este tipo de intuición resulta estar justificado, pues
se ha descubierto recientemente que el concepto de cantidades infinitamente pequeñas no es
deshonroso y no tiene por qué ser descartado. (Stewart citado en Courant y Robbins, 2002,
p. 563)
Caso 3. El límite de una función en un punto y la discontinuidad “evitable”

Prácticamente en todos los textos de Cálculo el concepto de límite resulta importante. Así,
para dar respuesta a cuál es el límite de una función definida se hace por medio de un
( )
cociente de otras dos funciones ( ( ) = ) cuando la variable tiende a un valor , para el
( )
cual ambas funciones (numerador y denominador) valen cero ( ( ) = ( ) = 0), es decir,
0
cuando se presenta la forma indeterminada .
0
Por lo general la definición de límite y los teoremas para el cálculo del límite de una función
en un punto se consideran algunos casos simples. Por ejemplo, al factorizar numerador y
denominador con − como factor en ambos casos. Para situaciones complejas la respuesta
se da después de definir la derivada, introduciendo la regla de L’Hôpital para calcular el
límite para esta y otras formas indeterminadas. Por otro lado, la interpretación gráfica suele
tener una importancia secundaria porque se aborda cuando se habla de la continuidad

indicando que la discontinuidad “evitable” ocurre cuando ( ) = , pero ( ) = ( ) no
( ) ( )

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