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P. 42

 la operación * es asociativa;
 existencia de elemento neutro para *, es decir, existe ∈ tal que para todo ∈ G
se cumple ∗ = = ∗ ;
 existencia de inversos respecto a ∗, es decir, dado ∈ G existe ℎ ∈ tal que ∗ ℎ =
= ℎ ∗ .

Si además ∗ es conmutativa, se dice que el grupo es abeliano.

Muchos de los conjuntos conocidos en matemáticas tienen estructura de grupo, por ejemplo,
los enteros ℤ con la suma, los racionales ℚ con la suma, los reales ℝ con la suma, en general
cualquier campo con la suma, en todos estos grupos el neutro es 0.

Otro ejemplo de este tipo de estructura es el de los enteros módulo , denotado por ℤ , cuyos

elementos son {0,1, ⋯ , − 1} y cuya operación es la suma módulo , es decir, el resultado
de sumar y es el residuo que se obtiene al dividir + por . Por ejemplo, ℤ 12 =
{0, 1, 2, ⋯ , 11} y aquí se tiene que 5 + 10 = 3, pues el residuo de dividir 15 por 12 es
precisamente 3. Notemos que en este grupo el neutro es 0. Además, en ℤ el inverso de 5
12
es 7, puesto que 5 + 7 = 12 = 0. El inverso del elemento se denota por − .

Un último ejemplo es el conjunto de las funciones biyectivas de un conjunto en sí mismo
con la composición, al cual se denota por S . Si el conjunto es finito de cardinalidad , es
X
común denotarlo por S . Por ejemplo, si = {1,2,3,4,5,6,7} un elemento de S es la función
n
7
dada por (1) = 3, (2) = 7, (3) = 5, (4) = 1, (5) = 4, (6) = 6 y (7) = 2, la
cual se denota de manera conveniente como: 42

1 2 3 4 5 6 7
= ( ).
3 7 5 1 4 6 2

Una forma más compacta de escribir este tipo de funciones es la siguiente:

= (1 3 5 4)(2 7),

lo cual significa: 1 ⟼ 3 ⟼ 5 ⟼ 4 ⟼ 1 y 2 ⟼ 7 ⟼ 2.

Si ∈ S es la función dada por la siguiente expresión:
7

1 2 3 4 5 6 7
= ( ) = (1 2 3 5 4),
2 3 5 1 4 6 7

entonces la composición ∘ se puede calcular como sigue:

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
∘ = ( ) ( )
3 7 5 1 4 6 2 2 3 5 1 4 6 7

1 2 3 4 5 6 7
= ( ),
7 5 4 3 1 6 2

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