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© FEGLININ, No 22, VOLUMEN 3 ISSN 2594-2298
EDICIÓN ESPECIAL EN EDUCACIÓN Chilpancingo Gro.
MATEMÁTICA Septiembre 2022

o de manera más compacta:

∘ = (1 3 5 4)(2 7)(1 2 3 5 4) = (1 7 2 5)(3 4).

Es sabido que si tiene cardinalidad , entonces S tiene ! elementos. El elemento neutro
n
en este grupo es la función identidad, la cual es denotada por (1).

Para referirse a un grupo, es común hacerlo únicamente por el conjunto, dando por entendido
que tiene esta estructura por una operación binaria definida sobre él.

Sea un grupo, se dice que ⊂ es un conjunto generador, si cualquier elemento de ∈
se puede escribir de la forma = ⋅ ⋯ ⋅ , para algunos , … , ∈ . Por ejemplo,
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un conjunto generador de ℤ es {2,3}, pues:
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0 = 2 + 2 + 2; 1 = 2 + 2 + 3; 2 = 2; 3 = 3; 4 = 2 + 2; 5 = 2 + 3.
De la misma manera, {(1 2), (1 3)} es un conjunto generador de S , ya que:
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(1) = (1 2)(1 2); (1 2) = (1 2); (1 3) = (1 3);

(2 3) = (1 2)(1 3)(1 2); (1 2 3) = (1 3)(1 2); (1 3 2) = (1 2)(1 3).

Dado un grupo , se dice que ⊂ es un subgrupo, si es un grupo con la operación de 43
restringida a sí mismo. Obviamente, { } y son subgrupos de , donde ∈ es el
elemento neutro. Así también, {0, 2, 4} es un subgrupo de ℤ y {(1), (1 2)} lo es de S . Para
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más detalles e información sobre teoría de grupos véase Rotman (2010).
Gráficas

A continuación se define el otro objeto de interés en este escrito.

Definición. Una gráfica Γ es una pareja ordenada de conjuntos Γ = ( , ), donde ≠ ∅ es
finito (conjunto de vértices) y es un conjunto de pares no ordenados de distintos elementos
de (conjunto de aristas). | | y | | se llaman orden y tamaño de la gráfica, respectivamente.

 Si ∈ , se define su grado como el número de vértices con los que forma arista.
 Se dice que Γ es regular, si todos sus vértices tienen el mismo grado.
 Si entre todos los pares de vértices distintos de Γ existe una arista, Γ es llamada gráfica
completa.
 Un camino entre dos vértices y es una sucesión de vértices distintos , , … , ,
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de tal manera que cualesquiera dos consecutivos forman arista. Si = , un camino
entre ellos se llama ciclo.
 Si , ∈ , se define la distancia entre ellos como el mínimo de las longitudes de
todos los caminos entre ellos, donde la longitud de un camino es el número de aristas
contenidas en él.

Educación matemática