Page 45 - FGDP revista FEGLININ

© FEGLININ, No 22, VOLUMEN 3 ISSN 2594-2298
EDICIÓN ESPECIAL EN EDUCACIÓN Chilpancingo Gro.
MATEMÁTICA Septiembre 2022

Gráficas de Cayley

Históricamente Arthur Cayley (Cayley, 1878) fue el primero en asociar gráficas a grupos
finitos, sin embargo, estas gráficas eran dirigidas (las aristas en realidad son flechas y cada
generador induce un tipo de flecha distinto). La definición dada a continuación pone ciertas
condiciones al conjunto de generadores para obtener aristas sin dirección.

Definición: Sean un grupo finito con elemento neutro y ⊂ un conjunto de
generadores que satisface las siguientes condiciones:

 ∉ ;
 ∈ implica −1 ∈ ,

La gráfica de Cayley Γ( , ) se define como aquella cuyo conjunto de vértices es = y
donde las aristas están formadas por pares de vértices , ℎ ∈ tales que ∗ ℎ −1 ∈ .

Puede observarse que las aristas están bien definidas, pues por la segunda propiedad
∗ ℎ −1 ∈ implica ℎ ∗ −1 ∈ y la primera condición asegura que no existen lazos (aristas
que unen a un vértice con él mismo).

Ejemplo 1. Considérese al grupo ℤ con conjunto de generadores = {1, 3, 5}, entonces la
6
gráfica de Cayley Γ(ℤ , ) tiene como vértices al conjunto = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, y las aristas 45
6
se construyen de la siguiente manera: como 1 + (−2) = −1 = 5 ∈ entonces 1 2 ∈ , de
la misma manera 0 3 ∈ , ya que 0 + (−3) = −3 = 3 ∈ ; pero 1 3 ∉ , pues 1 + (−3) =
−2 = 4 ∉ , así = {0 1, 0 3, 0 5, 1 2, 1 4, 2 3, 2 5, 3 4, 4 5}.

Una representación de esta gráfica se observa en la Figura 3a.

Ahora, si se considera como conjunto de generadores a = {2, 3, 4}, el conjunto de aristas
es = {0 2, 0 3, 0 4, 1 3, 1 4, 1 5, 2 4, 2 5, 3 5}.

Una representación de la gráfica Γ(ℤ , ) puede verse en la Figura 3b.
6

a) Γ(ℤ , ) b) Γ(ℤ , )
6
6
Figura 3 Representaciones de gráficas de Cayley de ℤ 6 con distintos generadores.
Fuente: Elaboración propia

Educación matemática