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© FEGLININ, No 22, VOLUMEN 3 ISSN 2594-2298
EDICIÓN ESPECIAL EN EDUCACIÓN Chilpancingo Gro.
MATEMÁTICA Septiembre 2022

En el ejemplo 1 puede observarse que las gráficas de Cayley no solo dependen del grupo,
sino del conjunto generador, pues considerar distintos generadores, en general, inducen
gráficas diferentes.

Ejemplo 2. Ahora considérese al grupo S con conjunto de generadores = {(1 2), (1 3)},
3
entonces Γ(S , ) tiene como vértices al conjunto =
3
{(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}. Además, como (1 2)(1 3 2) = (1 3) ∈
entonces (1 2)(1 3 2) ∈ , análogamente se puede observar que (1 2)(1) ∈ . Haciendo las
verificaciones correspondientes se obtiene:

= {(1 2) (1), (1 3) (1), (1 2) (1 3 2), (1 3) (1 2 3), (2 3) (1 2 3), (2 3) (1 3 2)}.

La Figura 4 muestra una representación de la gráfica Γ(S , ).
3

Figura 4 Una representación de la gráfica de Cayley (S 3 , ). 46
Fuente: Elaboración propia.
Se puede observar en estos ejemplos, lo cual es un hecho en general, que las gráficas de
Cayley son regulares, de hecho, el número de generadores es precisamente la regularidad y
también son conexas, es decir, cualquier par de vértices está conectado por algún camino.

Las gráficas de Cayley se han estudiado desde diferentes perspectivas, por ejemplo
Dougherty & Faber (2004) dan una relación entre el diámetro y el tamaño; Babai (1977)
demuestra que si la gráfica de un grupo es plana (de manera informal, una gráfica es plana
si tiene una representación en el plano en la cual las aristas no se intersecan), la gráfica de
cualquier subgrupo también lo es y Pak & Radoičić (2009) demuestran que bajo ciertas
condiciones estas gráficas contienen ciclos hamiltonianos (un ciclo que contenga a todos los
vértices).

CONCLUSIONES

Como puede observarse en los ejemplos dados de construir gráficas considerando grupos, se
recurre a la noción matemática básica de la articulación de elementos de un conjunto de
puntos y líneas conectándolos para facilitar el estudio de conceptos básicos, en este sentido,
la intuición geométrica, que como bien menciona Niman (1975), es el prerequisito en el
estudio de la Teoría de gráficas, por lo cual se invita a que se desarrollen actividades desde
niveles tempranos en la enseñanza de la geometría y el álgebra. Los ejemplos dados, a pesar
de la riqueza visual no reducen el abstraccionismo, como es sugerido por Hazzan & Hadar
(2005), quienes mencionan que el excesivo énfasis en la visualización genera mecanismos

Educación matemática